九条路能相交吗

在世界各地，广泛地流传着一道数学名题，尽管说法有不同，但实质上是同一个问题：某地有三个村庄和三所学校，从每个村庄到三所学校各修一条路，能不能使这九条路相交呢？大多数人认为，只要不怕费事绕绕弯子，这事是不难办到的。可事实并非如此，上述想法是不能实现的，这里面有着奥妙的数学原理。在 19 世纪，瑞士大数学家欧拉，在研究多面体的顶点数、棱数和面数的关系时，发现了一个规律，如立方体有 8 个顶点、12 条棱、6 个面，它们具有的关系 8－12＋6＝2。其它多面体也是同样，即一个多面体若有n 个顶点、m 条棱、p 个平面，则一定有 n－m＋p＝2，这就是著名的欧拉公式。有了欧拉公式，前面所说的问题就可迎刃而解了。把问题看成是立体图形，每个村庄或学校就相当一个顶点，一条路就相当一条棱，用路围起来的部分就相当于一个面。因为有九条棱、六个顶点，那么有 6－9＋p＝2，即 p＝5，就是说应该有 5 个面；而从另一个角度考虑，从一个村庄出发，走一条路就到达一所学校，再走一条路就到另一个村庄，再走一段路就到达另一所学校，再走一段路才能回到原地。所以围成一个至少要四段路即四条边，现有 9 条棱，若数面的边当然是 18 条面，至少四条边围成一个面，当然围不成 5 个面。也就是说九条路的设想是不能实现的。针对这类问题的研究，已经形成了数学领域的一个分支——拓扑学。它对工程设计、机器元件的设计、集成电路设计，电子计算机的程控、各种信息网络系统的建立，都有广泛的应用。

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